数学建模的6个基本步骤

2019-12-31 15:21

数学建模(mathematical modeling)就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的方法。数学建模没有固定的格式和标准,也没有明确的方法,通常有6个步骤:明确问题合理假设搭建模型求解模型分析检验模型解释1、明确问

数学建模的6个基本步骤

数学建模(mathematical modeling)就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的方法。数学建模没有固定的格式和标准,也没有明确的方法,通常有6个步骤:

  1. 明确问题
  2. 合理假设
  3. 搭建模型
  4. 求解模型
  5. 分析检验
  6. 模型解释

1、明确问题

数学建模所处理的问题通常是各领域的实际问题,这些问题本身往往含糊不清,难以直接找到关键所在,不能明确提出该用什么方法。因此建立模型的首要任务是辨明问题,分析相关条件和问题,一开始尽可能使问题简单,然后再根据目的和要求逐步完善。

数学建模的6个基本步骤

2、合理假设

作出合理假设,是建模的一个关键步骤。一个实际问题不经简化、假设,很难直接翻译成数学问题,即使可能也会因其过于复杂而难以求解。因此,根据对象的特征和建模的目的,需要对问题进行必要合理地简化。

合理假设的作用除了简化问题,还对模型的使用范围加以限定。

数学建模的6个基本步骤

作假设的依据通常是出于对问题内在规律的认识,或来自对数据或现象的分析,也可以是两者的综合。作假设时,既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济、机械等专业方面的知识,也要充分发挥想象力、洞察力和判断力,辨别问题的主次,尽量使问题简化。

为保证所作假设的合理性,在有数据的情况下应对所作的假设及假设的推论进行检验,同时注意存在的隐含假设。

3、搭建模型

搭建模型就是根据实际问题的基本原理或规律,建立变量之间的关系。

要描述一个变量随另一个变量的变化而变化,最简单的方法是作图,或者画表格,还可以用数学表达式。在建模中,通常要把一种形式转换成另一种形式。将数学表达式转换成图形和表格较容易,反过来则比较困难。

用一些简单典型函数的组合可以组成各种函数形式。使用函数解决具体的实际问题,还比须给出各参数的值,寻求这些参数的现实解释,往往可以抓住问题的一些本质特征。

数学建模的6个基本步骤

4、求解模型

对模型的求解往往涉及不同学科的专业知识。现代计算机科学的发展提供了强有力的辅助工具,出现了很多可进行工程数值计算和数学推导的软件包和仿真工具,熟练掌握数学建模的仿真工具可大大增强建模能力。

不同数学模型的求解难易不同,一般情况下很多实际问题不能求出解析解,因此需要借助计算机用数值的方法来求解,在编写代码之前要明确算法和计算步骤,弄清初始值、步长等因素对结果的影响。

5、分析检验

在求出模型的解后,必须对模型和“解”进行分析,模型和解的适用范围如何,模型的稳定性和可靠性如何,是否到达建模目的,是否解决了问题?

数学模型相对于客观实际不可避免地会带来一定误差,一方面要根据建模的目的确定误差的允许范围,另一方面要分析误差来源,想办法减小误差。

数学建模的6个基本步骤

一般误差有以下几个来源,需要小心分析检验:

  • 模型假设的误差:一般来说模型难以完全反映客观实际,因此需要做不同的假设,在对模型进行分析时,需要对这些假设小心检验,分析比较不同假设对结果的影响。
  • 求近似解方法的误差:一般来说很难得到模型的解析解,在采用数值方法求解时,数值计算方法本身也会有误差。这类误差许多是可以控制的。
  • 计算工具的舍入误差:在用计算器或计算机进行数值计算时,都不可避免由于机器字长有限而产生舍入误差,如果进行了大量运算,这些误差的积累是不可忽视的。
  • 数据的测量误差:在用传感器、调查问卷等方法获得数据时,应注意数据本身的误差。

6、模型解释

数学建模的最后阶段是用现实世界的语言对模型进行翻译,这对使用模型的人深入了解模型的结果是十分重要的。模型和解是否有实际意义,是否与实际证据相符合。这一步是使数学模型有实际价值的关键一步。

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